Bài 9 trang 76 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: $0, \left( 7 \right) = 0, 777.$; \(1...

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) $0,\left( 7 \right) = 0,777...$;

b) $1,\left( {45} \right) = 1,454545...$

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số: Cấp số nhân vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right|

Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: $S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$

a) $0,\left( 7 \right) = 0,777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + ... = 0,7 + 0,7.\frac{1}{{10}} + 0,7.\frac{1}{{{{10}^2}}} + ...$

Số 0,777… là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,7 và công bội bằng $\frac{1}{{10}}$. Do đó, $0,\left( 7 \right) = \frac{{0,7}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}$

b) $1,\left( {45} \right) = 1,454545... = 1 + 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + ...$

$= 1 + 0,45 + 0,45.\frac{1}{{100}} + 0,45.\frac{1}{{{{100}^2}}} + ...$

$0,45 + 0,45.\frac{1}{{100}} + 0,45.\frac{1}{{{{100}^2}}} + ...$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 0,45 và công bội bằng $\frac{1}{{100}}$. Do đó, $1,\left( {45} \right) = 1 + \frac{{0,45}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = 1 + \frac{5}{{11}} = \frac{{16}}{{11}}$