Bài 2.50 trang 43 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Một dãy số $({u_n})$ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi...

Một dãy số $({u_n})$ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

${u_1} = a,\,\,{u_{n + 1}} = q{u_n} + d$

Nếu $q = 1$ ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu $d = 0$ ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử $q \ne 1$. Dự đoán công thức số hạng tổng quát ${u_n}$.

b) Thiết lập công thức tính tổng ${S_n}$của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng $({u_n})$.

Viết lần lượt số hạng của dãy để thấy được công thức tổng quát

Ta viết lần lượt các số hạng của dãy

$\begin{array}{l}{u_1} = a,\,\\{u_2} = q{u_1} + d\\{u_3} = q{u_2} + d = q\left( {q{u_1} + d} \right) + d = {q^2}{u_1} + d\left( {q + 1} \right)\\{u_4} = q{u_3} + d = q\left( {{q^2}{u_1} + d\left( {q + 1} \right)} \right) + d = {q^3}{u_1} + d\left( {{q^2} + q + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {q^3}{u_1} + d\frac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}}.\end{array}$

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát

${u_n}\, = {q^{n - 1}}{u_1} + d\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}.$

b) Ta viết tổng n số hạng như sau:

$\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1} + \left( {q{u_1} + d} \right) + \left( {q{u_2} + d} \right) + ...\left( {q{u_{n - 1}} + d} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + q{S_{n - 1}} + (n - 1)d\end{array}$

Vậy ta được ${S_n}$ cũng là một cấp số nhân cộng với ${S_1} = {u_1}$

Áp dụng công thức của cấp số nhân cộng ở câu a, ta được

${S_n}\, = {q^{n - 1}}{S_1} + d\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}} = {q^{n - 1}}{u_1} + d\frac{{1 - {q^{n - 1}}}}{{1 - q}}.$