Cho hình hộp chữ nhật ABCD⋅A′B′C′D′ có AB=a,AD=a√2, góc giữa đường thẳng A′C và mặt phẳng (ABCD) bằng 30∘.
a) Tính theo a thể tích khối hộp chữ nhật.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD′.
a) Góc giữa đường thẳng A′C và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng A′C và AC bằng ^A′CA=30∘⇒AA′
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD⋅A′B′C′D′ bằng AB⋅AD⋅AA′=.
b)V\`iCD′//(A′BD),BD⊂(A′BD)⇒d(CD′,BD)=d(CD′,(A′BD))=d(D′,(A′BD))
d(D′,(A′BD))=d(A,(A′BD)).
Đặt d(A,(A′BD))=h thì \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{‘}}2}}}} \Rightarrow h.
Advertisements (Quảng cáo)
Kết luận d\left( {CD’,BD} \right).
a) Góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng \left( {ABCD} \right) là góc giữa hai đường thẳng A’C và AC bằng \widehat {A’CA} = {30^ \circ } \Rightarrow AA’ = AC \cdot {\rm{tan}}{30^ \circ } = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} = a{\rm{.\;}}
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD \cdot A’B’C’D’ bằng AB \cdot AD \cdot AA’ = {a^3}\sqrt 2 .
{\rm{b)\;V\`i \;}}CD’//\left( {A’BD} \right){\rm{,BD}} \subset {\rm{\;}}\left( {A’BD} \right){\rm{\;}} \Rightarrow d\left( {CD’,BD} \right) = d\left( {CD’,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {D’,\left( {A’BD} \right)} \right)
Vì D’ cắt mặt phẳng \left( {A’BD} \right) tại trung điểm của đoạn AD’ nên
d\left( {D’,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {{A_,}\left( {A’BD} \right)} \right){\rm{.\;}}
Đặt d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) = h thì \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{‘}}2}}}} = \frac{5}{{2{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}.
Vậy d\left( {CD’,BD} \right) = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}.