Bài 43 trang 72 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Tính thể tích khối chóp $AA’MN$ bằng $\frac{1}{3} \cdot {S_{AA’M}} \cdot d\left( {N, \left( {AA’M} \right)} \right)$ b...

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có $AB = a,AA’ = 2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BB’$ và $CC’$.

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện $AA’MN$.

b) Tính côsin góc nhị diện $\left[ {A,MN,A’} \right]$.

a) Nhận xét ${S_{{\rm{AA’MN}}}} = \frac{1}{2}{S_{ABB’A’}} = {a^{}}$và $CC’$ song song với $\left( {ABB’A’} \right)$ nên ${\rm{d}}\left( {N,\left( {AA’M} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Tính thể tích khối chóp $AA’MN$ bằng $\frac{1}{3} \cdot {S_{AA’M}} \cdot d\left( {N,\left( {AA’M} \right)} \right)$

b. Gọi là trung điểm của $MN$ thì$\;AI\; \bot MN,A’I \bot MN \Rightarrow \left[ {A,MN,A’} \right] = \widehat {AIA’}$

Tính $AI,A’I$

Áp dụng định lý côsin áp dụng cho tam giác $AA’I$, ta có:$\cos \widehat {AIA’} = \frac{{A{I^2} + A'{I^2} - A{A^{‘2}}}}{{2 \cdot AI \cdot A’I}}$.

Ta có ${S_{{\rm{AA’MN}}}} = \frac{1}{2}{S_{ABB’A’}} = {a^{}}$và $CC’$ song song với $\left( {ABB’A’} \right)$ nên ${\rm{d}}\left( {N,\left( {AA’M} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB’A’} \right)} \right) = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích khối chóp $AA’MN$ bằng $\frac{1}{3} \cdot {S_{AA’M}} \cdot d\left( {N,\left( {AA’M} \right)} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$

b. Gọi là trung điểm của $MN$ thì$\;AI\; \bot MN,A’I \bot MN \Rightarrow \left[ {A,MN,A’} \right] = \widehat {AIA’}$

$AI = A’I = \sqrt {A{M^2} - M{I^2}} = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - M{I^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}$

Theo đinh lý côsin áp dụng cho tam giác $AA’I$, ta có:

$\cos \widehat {AIA’} = \frac{{A{I^2} + A'{I^2} - A{A^{‘2}}}}{{2 \cdot AI \cdot A’I}} = \frac{{ - 1}}{7}$.