Bài 40 trang 72 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp đều $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng a và $SA = a\sqrt 2$...

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng a và $SA = a\sqrt 2$.

a) Tính theo a thể tích khối chóp $S.ABCD.$

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$.

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Áp dụng định lý Pytago tính : $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO$

b) Vì $AD//\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ chứa $SB$ nên

$d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$

$d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M,OH$ vuông góc với $SM$ tại $H$ thì

$BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH.$

Tam giác $SOM$vuông tại $O$, có đường cao $OH$, khi đó $OH = \frac{{SO \cdot OM}}{{SM}}$.

Suy ra $d\left( {AD,SB} \right) = 2.OH$.

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Ta có tam giác $SAO$ vuông tại $O$ nên theo định lý Pythagore: $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.$

b) Vì $AD//\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ chứa $SB$ nên

$d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$

Đường thẳng $AO$ cắt mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ tại $C$ và $O$ là trung điểm của đoạn $AC$ nên $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M,OH$ vuông góc với $SM$ tại $H$ thì

$BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH.$

Tam giác $SOM$vuông tại $O$, có đường cao $OH$, khi đó $OH = \frac{{SO \cdot OM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$.

Vậy $d\left( {AD,SB} \right) = 2.OH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$.