Bài 3.24 trang 52 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các bạn trong lớp được thống kê trong bảng sau...

Số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các bạn trong lớp được thống kê trong bảng sau:

a) Trung bình một bạn trong lớp đăng kí bao nhiêu nguyện vọng.

b) Tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu

Ta có bảng số liệu ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép mẫu là: $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ là tổng số quan sát (còn gọi là cỡ mẫu) và ${x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}$ gọi là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right]$.

Để tính trung vị ${M_e}$ của mẫu số liệu ghép nhóm ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ j: $\left[ {{a_j};{a_{j + 1}}} \right)$

Bước 2: Trung vị là: ${M_e} = {a_j} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{j - 1}}} \right)}}{{{m_j}}}\left( {{a_{j + 1}} - {a_j}} \right)$

Trong đó, n là cỡ mẫu. Với $j = 1$ ta quy ước ${m_1} + ... + {m_{j - 1}} = 0$. Trung vị chính là tứ phân vị thứ hai ${Q_2}.$ Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành 2 phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

Để tính tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_1}.$ Giả sử đó là nhóm thứ p: $\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$.

Khi đó, ${Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$, trong đó n là cỡ mẫu, với $p = 1$ thì ta quy ước ${m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0$.

Để tính tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_3}.$ Giả sử đó là nhóm thứ p: $\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)$.

Khi đó, ${Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$, trong đó n là cỡ mẫu, với $p = 1$ thì ta quy ước ${m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0$.

a) Số trung bình của mẫu số liệu là

$\bar x = \frac{{5.2 + 18.5 + 13.8 + 7.11}}{{43}} \approx 6,73.$

b) Hiệu chỉnh mẫu số liệu, ta được bảng thống kê sau

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [3,5; 6,5).

${Q_1} = 3,5 + \frac{{\frac{{53}}{4} - 5}}{{18}}\left( {6,5 - 3,5} \right) = 4,875$.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ hai là [6,5; 9,5)

${Q_2} = 6,5 + \frac{{\frac{{53}}{2} - (5 + 18)}}{{13}}\left( {9,5 - 6,5} \right) \approx 7,3$.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9,5; 12,5)

${Q_3} = 9,5 + \frac{{\frac{{3.53}}{4} - \left( {5 + 18 + 13} \right)}}{{17}}\left( {12,5 - 9,5} \right) \approx 10,2$.