Bài 1.38 trang 40 SBT Hình học 11: Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang...

Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60°. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Gọi ${Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}$ là phép quay tâm G góc $120^0$. Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự ${Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}$ cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra $GP = GN,GQ = GM$. Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì ${Q_{\left( {G;{{120}^0}} \right)}}$ biến PQ thành NM nên $PQ = NM$. Từ đó suy ra hai tam giác $NQM$ và $PMQ$ bằng nhau. Do đó $\widehat {NQM} = \widehat {PMQ}$. Tương tự $\widehat {QNP} = \widehat {MPN}$.

Từ đó suy ra $\widehat {PNQ} + \widehat {NQM} = {180^0}$

Do đó $NP\parallel QM$. Vậy ta có tứ giác $MPNQ$ là hình thang cân.