Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểmA, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng →AB=p→AC nếu $$\overrightarrow {A’B’} = p\overrightarrow {A’C’} \) thì , trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.
Để ý rằng
\eqalign{ & A’C{‘^2} = {k^2}A{C^2},A’B{‘^2} \cr & = {k^2}A{B^2},\overrightarrow {A’C’} .\overrightarrow {A’B’} \cr & = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr}
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
{\left( {\overrightarrow {A’B’} - p\overrightarrow {A’C’} } \right)^2} = A’B{‘^2} - 2p\overrightarrow {A’B’} .\overrightarrow {A’C’} + {p^2}A’C{‘^2}
\eqalign{ & = {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} \right) \cr & = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB} - p\overleftarrow {AC} } \right)^2} = 0 \cr}
Từ đó suy ra \overrightarrow {A’B’} - p\overrightarrow {A’C’} = \overrightarrow 0
Giả sử ba điểm A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó \overrightarrow {AB} = t\overrightarrow {AC} , với 0 < t < 1. Áp dụng bài 1.39 ta cũng có \overrightarrow {A’B} = t\overrightarrow {A’C’} , với 0 < t < 1. Do đó ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng và điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.