Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng: Bài 1.39 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 – Ôn tập Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Gọi A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {A’B’} .\overrightarrow {A’C’} = {k^2}\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} \)
Theo định nghĩa của phép đồng dạng ta có \(B’C’ = kBC\), từ đó suy ra \(B’C{‘^2} = {k^2}B{C^2}\). Hay $${\left( {\overrightarrow {A’C’} – \overrightarrow {A’B’} } \right)^2} = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)^2}\). Suy ra
\(A’C{‘^2} – 2\overrightarrow {A’C’} .\overrightarrow {A’B’} + A’B{‘^2}\)
\(= {k^2}\left( {A{C^2} – 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + A{B^2}} \right)\).
Để ý rằng \(A’C{‘^2} = {k^2}A{C^2},A’B{‘^2} = {k^2}A{B^2}\) ta suy ra điều phải chứng minh.