Bài 6 trang 77 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng...

Giả sử A và B là hai biến cố ${{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a$. Chứng minh rằng

a) ${{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a;$     

b) ${1 \over 2} \le a \le 1.$    

a)      Vì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)$ nên

${{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = {{P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a.$

b)      Vì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( A \right) + P\left( B \right)$

Nên $a = {{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)$           

Mặt khác, $2P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cup B} \right) + P\left( {A \cup B} \right) \ge P\left( A \right) + P\left( B \right)$

Vậy $a = {{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \ge {1 \over 2}$

Kết hợp với (1), ta có ${1 \over 2} \le a \le 1$