Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập Đại số và giải tích 11 Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*...

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

a) $2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = {{n\left( {3n + 1} \right)} \over 2};$     

b) $3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).$    

Giải:

a)      Đặt vế trái bằng S_n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có ${S_k} = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2}$ với $k \ge 1$. 

Ta phải chứng minh ${S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}$

Thật vậy

$\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \cr & = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2} + 3k + 2 \cr & = {{3{k^2} + k + 6k + 4} \over 2} \cr & = {{3{k^2} + 7k + 4} \over 2} \cr & {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}{\rm{ }}\left( {đpcm} \right) \cr}$

b)      Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).