Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
a) \(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = {{n\left( {3n + 1} \right)} \over 2};\)
b) \(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)
Giải:
a) Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử đã có \({S_k} = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2}\) với \(k \ge 1\).
Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}\)
Thật vậy
\(\eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1 \cr
& = {{k\left( {3k + 1} \right)} \over 2} + 3k + 2 \cr
& = {{3{k^2} + k + 6k + 4} \over 2} \cr
& = {{3{k^2} + 7k + 4} \over 2} \cr
& {\rm{ = }}{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)} \over 2}{\rm{ }}\left( {đpcm} \right) \cr} \)
b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).