Bài 1 trang 72 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau...

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2};$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.$

Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm ${x_0}$ và hàm số $f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới ${x_0}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ và ${x_n} \to {x_0}$, ta có$f({x_n}) \to L$

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2};$

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $\lim {x_n} = - 3.$

Ta có $\lim x_n^2 = {\left( { - 3} \right)^2} = 9$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {x^2} = 9.$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.$

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $\lim {x_n} = 5.$

Ta có $\lim \frac{{{x_n}^2 - 25}}{{{x_n} - 5}} = \lim \frac{{\left( {{x_n} - 5} \right)\left( {{x_n} + 5} \right)}}{{{x_n} - 5}} = \lim \left( {{x_n} + 5} \right) = \lim {x_n} + 5 = 5 + 5 = 10$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = 10.$