Bài 3 trang 109 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho tứ diện ABCD. Lấy ${G_1}, {G_2}, {G_3}$lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB...

Cho tứ diện ABCD. Lấy ${G_1},{G_2},{G_3}$lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng $({G_1}{G_2}{G_3})//(BCD)$

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ với mặt phẳng $(ABD)$

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)

a) Gọi E, F, H là trung điểm của BC, CD, BD

Ta có:${G_1}$ là trọng tâm tam giác ABC, suy ra$\frac{{A{G_1}}}{{AE}} = \frac{2}{3}$

${G_3}$là trọng tâm tam giác ABD, suy ra$\frac{{A{G_3}}}{{AH}} = \frac{2}{3}$

Suy ra tam giác AEH có$\frac{{A{G_1}}}{{AE}} = \frac{{A{G_3}}}{{AH}}$ nên ${G_1}{G_3}//EH$

Mà EH thuộc (BCD) nên ${G_1}{G_3}//(BCD)$

Tương tự ta có:${G_2}{G_3}//(BCD)$

Do đó, ${G_1}{G_2}{G_3}//(BCD)$

b)

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$

Giả sử $\left( {ABD} \right) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//(BCD)\\(ABD) \cap (BCD) = BD\\(ABD) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d//BD$

Mà ${G_3} \in ({G_1}{G_2}{G_3})$ nên ${G_3}$ là giao điểm của $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD)

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD) đi qua ${G_3}$ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K

Vậy $({G_1}{G_2}{G_3}) \cap (ABD) = IK$

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$

Giả sử $\left( {ABD} \right) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//(BCD)\\(ABD) \cap (BCD) = BD\\(ABD) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d//BD$

Mà ${G_3} \in ({G_1}{G_2}{G_3})$ nên ${G_3}$ là giao điểm của $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD)

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD) đi qua ${G_3}$ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K

Vậy $({G_1}{G_2}{G_3}) \cap (ABD) = IK$