Bài 4 trang 56 Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3;{u_3} = \frac{{27}}{4}$ Tìm công bội q và viết...

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3;{u_3} = \frac{{27}}{4}$

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên

Dựa vào công thức tổng quát và tính tổng của cấp số nhân để xác định

a) Ta có: ${u_3} = {u_1}.{q^2} \Leftrightarrow \left( {\frac{{27}}{4}} \right) = 3.{q^2} \Leftrightarrow q = \frac{3}{2}$ hoặc $q = - \frac{3}{2}$

TH1:$q = \frac{3}{2}$

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: $3;\frac{9}{2};\frac{{27}}{4};\frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}$

TH2: $q = - \frac{3}{2}$

Năm số hạng đầu của cấp số nhân: $3; - \frac{9}{2};\frac{{27}}{4}; - \frac{{81}}{8};\frac{{243}}{{16}}$

b) Tổng 10 số hạng đầu:

TH1: $q = \frac{3}{2}$

${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{3.\frac{{ - 58025}}{{1024}}}}{{1 - \frac{3}{2}}} = \frac{{ - 174075}}{{1024}}.\left( { - 2} \right) = \frac{{174075}}{{512}}$

TH2: $q = - \frac{3}{2}$

${S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \frac{3}{2}} \right)}} = - \frac{{11605}}{{512}}$