Bài 4 trang 77 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó...

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) $f\left( x \right) = {x^2} + \sin x;$

b) $g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}};$

c) $h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}.$

- Các hàm đa thức, hàm số lượng giác $y = \sin x,y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$

- Các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

- Định lí tính liên tục của tổng của hai hàm số liên tục: Giả sử hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0}$. Khi đó các hàm số $y = f(x) \pm g(x)$và $y = f(x).g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0}$.

a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + \sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hàm số x² và sinx liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + \sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $g\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + \frac{6}{{x - 1}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Hàm số ${x^4} - {x^2}$ liên tục trên toàn bộ tập xác định

Hàm số $\frac{6}{{x - 1}}$ liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right).$

c) Hàm số $h\left( x \right) = \frac{{2x}}{{x - 3}} + \frac{{x - 1}}{{x + 4}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {-4;3} \right\}.$

Hàm số $\frac{{2x}}{{x - 3}}$ liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right).$

Hàm $\frac{{x - 1}}{{x + 4}}$ liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;-4} \right)$ và $\left( {-4; + \infty } \right).$

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;-4} \right)$, $\left( {-4;3} \right)$, $\left( {3; + \infty } \right).$