Bài 2 trang 77 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c...

Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

- Các hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$

- Các hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

+) Hình 15a: Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\;-2x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}.$

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}.$

+) Hình 15b: Hàm số $g\left( x \right) = \frac{x}{{x - 1}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;1} \right)$và $\left( {1; + \infty } \right).$

+) Hình 15c:

Với $x\; \in \;\left( {-\infty ;-1} \right)$ có $f\left( x \right) = -2x$ liên tục với mọi $x\; \in \;\left( {-\infty ;-1} \right)$

Với $x\; \in \;\left( {-1; + \infty } \right)$ có $f\left( x \right) = x + 1$ liên tục với mọi $x\; \in \;\left( {-1; + \infty } \right)$

Tại x = – 1 có

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {2x} \right) = 2.\left( { - 1} \right) = - 2\\f\left( { - 1} \right) = - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) \ne f\left( { - 1} \right)\end{array}$

Do đó hàm số không liên tục tại x = – 1.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {-\infty ;-1} \right)$và $\left( {-1; + \infty } \right).$