Giải mục 1 trang 73, 74, 75 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giả sử ${x_0} \in \mathbb{R}.$ Hàm số $f\left( x \right)$ có liên tục tại điểm ${x_0}$ hay không?...

Hoạt động 1

Quan sát đồ thị hàm số $f\left( x \right) = x$ ở Hình 11.

a) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).$

b) So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ với $f\left( 1 \right).$

Sử dụng $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1$

b) $f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).$

Luyện tập - VD 1

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 1$ tại ${x_0} = 1.$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Ta có $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = {1^3} + 1 = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} + 1 = 1 + 1 = 2$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1.$

Hoạt động 2

Cho hàm số $f\left( x \right) = x + 1$ với $x \in \mathbb{R}.$

a) Giả sử ${x_0} \in \mathbb{R}.$ Hàm số $f\left( x \right)$ có liên tục tại điểm ${x_0}$ hay không?

b) Quan sát đồ thị hàm số $f\left( x \right) = x + 1$ với $x \in \mathbb{R}$ (Hình 13), nếu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

a) Ta có $f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x + 1 = {x_0} + 1$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}.$

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}.$

Luyện tập - VD 2

Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 1,\,\,x < 2\\ - x,\,\,x \ge 2\end{array} \right.$ có liên tục trên $\mathbb{R}$ hay không?

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$

+) Với mỗi ${x_0} \in \left( { - \infty ;2} \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - 1} \right) = {x_0} - 1 = f\left( {{x_0}} \right)$

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} \in \left( { - \infty ;2} \right).$

+) Với mỗi ${x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x} \right) = - {x_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} \in \left( {2; + \infty } \right).$

+) Với mỗi ${x_0} = 2$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 2 - 1 = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - x} \right) = - 2$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ gián đoạn tại ${x_0} = 2$ nên hàm số $f\left( x \right)$ không liên tục trên $\mathbb{R}.$