Giải mục 2 trang 35, 36, 37 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Cho $m = {2^7};\, n = {2^3}$ Tính \({\log _2}\left( {mn} \right);{\log _2}m + {\log...

Hoạt động 3

Cho $m = {2^7};\,n = {2^3}$

a) Tính ${\log _2}\left( {mn} \right);{\log _2}m + {\log _2}n$ và so sánh các kết quả đó

b) Tính ${\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right);{\log _2}m - {\log _2}n$ và so sánh các kết quả đó

Áp dụng tính chất logarit và định nghĩa lôgarit để làm

a) ${\log _2}\left( {mn} \right) = {\log _2}\left( {{2^7}{{.2}^3}} \right) = {\log _2}{2^{10}} = 10$

${\log _2}m + {\log _2}n = {\log _2}{2^7} + {\log _2}{2^3} = 7 + 3 = 10$

$\Rightarrow {\log _2}m + {\log _2}n = {\log _2}mn$

b) ${\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{{2^7}}}{{{2^3}}}} \right) = {\log _2}{2^4} = 4$

${\log _2}m - {\log _2}n = {\log _2}{2^7} - {\log _2}{2^3} = 7 - 3 = 4$

$\Rightarrow {\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _2}m - {\log _2}n$

Luyện tập 4

Tính:

a) $\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5 - 2} \right)$

b) $\log 400 - \log 4$

c) ${\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3}$

Dựa vào công thức ${\log _a}\left( {m.n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$ và ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$

a) $\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5 - 2} \right) = \ln \left[ {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} \right] = \ln \left( {5 - 4} \right) = \ln 1 = 0$

b) $\log 400 - \log 4 = \log \frac{{400}}{4} = \log 100 = 2$

c) ${\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3} = {\log _4}\left( {8.12.\frac{{32}}{3}} \right) = {\log _4}\left( {32.32} \right) = 5$

Hoạt động 4

Cho $a > 0;a \ne 1;b > 0$, α là một số thực

a) Tính ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}$

b) So sánh ${\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b$

Áp dụng tính chất logarit để giải

a) ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = c \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}{b^\alpha } \Leftrightarrow c = {b^\alpha } \Rightarrow {a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {b^\alpha }$

${a^{\alpha {{\log }_a}b}} = c \Leftrightarrow {\log _a}c = \alpha {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}{b^\alpha } \Leftrightarrow c = {b^\alpha } \Leftrightarrow {a^{\alpha {{\log }_a}b}} = {b^\alpha }$

b) Do ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {b^\alpha };\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}} = {b^\alpha }$

$\Rightarrow {a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {a^{\alpha {{\log }_a}b}} \Rightarrow {\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$

Luyện tập 5

Tính: $2{\log _3}5 - {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36$

Dựa vào công thức vừa học để tính

$\begin{array}{l}2{\log _3}5 - {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36\\ = {\log _3}{5^2} - {\log _3}50 + {\log _3}\sqrt {36} \\ = {\log _3}25 - {\log _3}50 + {\log _3}6\\ = {\log _3}\frac{{25}}{{50}}.6 = {\log _3}3 = 1\end{array}$

Hoạt động 5

Cho ba số thực dương a, b, c với $a \ne 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} b \ne 1$

a) Bằng cách sử dụng tính chất $c = {b^{{{\log }_b}c}}$, chứng tỏ rằng ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$

b) So sánh ${\log _b}c$ và $\frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$.

Áp dụng tính chất đã cho, chứng tỏ rằng đẳng thức luôn đúng

a)

$\begin{array}{l}{\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\\ \Leftrightarrow {a^{{{\log }_a}c}} = {a^{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c}}\\ \Leftrightarrow c = {b^{{{\log }_b}c}}\end{array}$

$\Leftrightarrow c = c$(luôn đúng)

Vậy ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$

b) Từ ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$

Luyện tập 6

Tính: ${5^{{{\log }_{125}}64}}$

Dựa vào các công thức vừa học để tính

${5^{{{\log }_{125}}64}} = {5^{{{\log }_{{5^3}}}64}} = {5^{\frac{1}{3}{{\log }_5}64}} = {5^{{{\log }_5}\sqrt[3]{{64}}}} = {5^{{{\log }_5}4}} = 4$

Luyện tập 7

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: ${\log _7}19;{\log _{11}}26$

Dựa vào kiến thức vừa học để làm

$\begin{array}{l}{\log _7}19 \approx 1,5131\\{\log _{11}}26 \approx 1,3587\end{array}$