Giải mục 3 trang 55, 56 Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$...

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q \ne 1$

Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}$

a) Tính ${S_n}.q$ và ${S_n} - {S_n}.q$

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính ${S_n}$ theo ${u_1}$ và q

Dựa vào công thức tính cấp số cộng để tính

a) Ta có:

${S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)$

$\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}$

b) Ta có: ${S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}$

Luyện tập - VD 4

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; ... với n = 12;

b) $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...$ với n = 5.

Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với $u_1 = 3$ và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{12}=\frac{3(1−(−2)^{12})}{1−(−2)} = 12 285$.

b) Ta có: $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},...$ là một cấp số nhân với $u_1 = \frac{1}{10}$ và công bội $q=\frac{1}{10}$

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_5=\frac{\frac{1}{10}(1-(\frac{1}{10})^5)}{1−\frac{1}{10}}= 0,1111$.