Hoạt động 4
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)
a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.
b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)
- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi \(n \to + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).
- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)
b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)
Luyện tập - VD 5
Tính tổng \(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) có \({u_1} = 1,q = - \frac{1}{2}\) nên \(M = \frac{1}{{1 - \frac{{ - 1}}{2}}} = \frac{2}{3}\)
Luyện tập - VD 6
Advertisements (Quảng cáo)
Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng trong trường hợp sau: Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát rùa ở điểm \(A_1\) cách Achilles 100km.
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}.\)
Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách điểm xuất phát O của Achilles 100km.
Ta tính thời gian Achilles đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... Nếu tổng này vô hạn thì Achilles không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà Achilles đuổi kịp rùa.
Để chạy hết quãng đường OA1 =100 (km), Achilles phải mất thời gian t1 =\(\frac{{100}}{{100}}\) =1 (h).
Với thời gian t1 này, rùa đã chạy được quãng đường A1A2 =1 (km).
Để chạy hết quãng đường A1A2 =1 (km), Achilles phải mất thời gian t2 = \(\frac{1}{{100}}\) (h).
Với thời gian t2 rùa đã chạy thêm được quãng đường A2A3 = \(\frac{1}{{100}}\) (km).
Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường An-1An = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), Achilles phải mất thời gian tn = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h).
Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA1, A1A2, A2A3,... , An-1An,... là:
\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 =1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:
\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\left( h \right)\)
Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.
Vậy nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.