Hoạt động 5
Quan sát dãy số (u_n) với u_n = n^2 và cho biết giá trị của n có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Xác định các giá trị của dãy số dựa vào công thức tính số hạng tổng quát.
Ta có bảng giá trị sau:
n |
1 |
2 |
3 |
... |
100 |
... |
1001 |
u_n |
1 |
4 |
9 |
... |
10 000 |
... |
1 002 001 |
Advertisements (Quảng cáo)
Từ đó ta có các nhận xét sau:
+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì u_n > 1 .
+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì u_n > 10 000.
...
Vậy ta thấy u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Luyện tập - VD 7
Tính \lim \left( { - {n^3}} \right).
Sử dụng định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực.
- Dãy số \left( {{u_n}} \right) được gọi là có giới hạn + \infty khi n \to + \infty nếu {u_n} có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty hay {u_n} \to + \infty khi n \to + \infty .
- Dãy số \left( {{u_n}} \right) được gọi là có giới hạn - \infty khi n \to + \infty nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty , kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty hay {u_n} \to - \infty khi n \to + \infty .
Xét dãy \left( {{u_n}} \right) = {n^3}
Với M là số dương bất kì, ta thấy {u_n} > M \Leftrightarrow {n^3} > M \Leftrightarrow n > \sqrt[3]{M}.
Vậy với các số tự nhiên n > \sqrt[3]{M} thì {u_n} > M. Do đó, \lim {n^3} = + \infty \Rightarrow \lim \left( { - {n^3}} \right) = - \infty
Luyện tập - VD 8
Chứng tỏ rằng \lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = 0.
Sử dụng lý thuyết một số giới hạn cơ bản: \lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0 với k là số nguyên dương cho trước.
\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = \lim \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{1}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0