1. Định nghĩa
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\)tại \({x_0}\) và được kí hiệu là \(f’\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y{‘_{x_o}}\).
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm \(f’\left( {{x_0}} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_0}\), ta lần lượt thực hiện ba bước sau:
Bước 1. Xét \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).
Tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Bước 2. Rút gọn tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
Kết luận: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\) thì \(f’\left( {{x_0}} \right) = a\).
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
