Bài 2.16 trang 56 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 2}}$ Viết năm số hạng...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi ${u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 2}}$

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.

b) Chứng minh rằng dãy $\left( {{u_n}} \right)$ tăng và bị chặn.

a) Thay $n = 1,2,3,4,5$ vào công thức tổng quát.

b) Nếu ${u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ thì là dãy số tăng.

Dãy số tăng và bị chặn trên $\left( {{u_n} \le M\forall n} \right)$ là dãy số bị chặn.

a) ${u_1} = \frac{{3.1 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3};{u_2} = \frac{{3.2 - 1}}{{2 + 2}} = \frac{5}{4};{u_3} = \frac{{3.3 - 1}}{{3 + 2}} = \frac{8}{5};{u_4} = \frac{{3.4 - 1}}{{4 + 2}} = \frac{{11}}{6};{u_5} = \frac{{3.5 - 1}}{{5 + 2}} = 2$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 2}} = 3 - \frac{7}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3 - \frac{7}{{n + 3}} - 3 + \frac{7}{{n + 2}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Ta có: \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 2 > 0 \Rightarrow \frac{7}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow 3 - \frac{7}{{n + 2}}

Dãy số vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên thì bị chặn.