Bài 3.12 trang 79 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục \(f\left( x \right) =...

Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục

a) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}$

b) $g\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 9x}$

c) $h\left( x \right) = {x^2} + \cot x$

d, $t\left( x \right) = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {x - 2\sqrt x } \right)$

e) $u\left( x \right) = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}$

Hàm đa thức liên tục trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = \sin x,\,\,y = \cos x$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

Hàm số $y = \tan x,\,\,y = \cot x$ liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng K và $f\left( x \right) \ge 0$,$\forall x \in K$. Khi đó hàm số $y = \sqrt {f\left( x \right)}$ liên tục trên $K$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số $y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)$ cũng liên tục trên khoảng K

a,

Tập xác định $D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$

b,

Hàm số xác định khi và chỉ khi ${x^2} - 9x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 9\\x \le 0\end{array} \right.$

Tập xác định của hàm số là $\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)$

Hàm số $y = x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left( { - \infty ;0} \right]$ và $\left[ {9; + \infty } \right)$

Hàm số $y = {x^2} - 9x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\left( { - \infty ;0} \right]$ và $\left[ {9; + \infty } \right)$

Ngoài ra, vì ${x^2} - 9x \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)$ nên $y = \sqrt {{x^2} - 9x}$ liên tục trên $\left( { - \infty ;0} \right]$ và $\left[ {9; + \infty } \right)$

Do đó, hàm số $y = x + \sqrt {{x^2} - 9x}$ liên tục trên $\left( { - \infty ;0} \right]$ và $\left[ {9; + \infty } \right)$

c,

Điều kiện xác định là $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$

Tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Hàm số $y = {x^2}$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$ với $k \in \mathbb{Z}$

Hàm số $y = \cot x$ liên tục trên khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$ với $k \in \mathbb{Z}$

Do đó, hàm số $y = {x^2} + \cot x$ liên tục trên khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$ với $k \in \mathbb{Z}$

d,

Điều kiện xác định $x \ge 0$. Tập xác định $D = \left[ {0; + \infty } \right)$

Ta có $t\left( x \right) = {x^2} - 4x$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$

e,

Điều kiện xác định $x > 0$. Tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Vì hàm số $y = \sin 2x$ liên tục trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ nên nó liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Hàm số $y = \sqrt x$ liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$

Nên hàm số $y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}$ liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$