Bài 3.14 trang 80 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Tìm các giới hạn sau: $\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}}$ \(\lim \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n...

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}}$

b) $\lim \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n + 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right){{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}}}$

c) $\lim \frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{{2n - 1}}$

d) $\lim \frac{{{2^n} + {4^n}}}{{{6^n} + 1}}$

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với số mũ lớn nhất

Sử dụng các công thức sau $\lim \frac{1}{n} = 0;\,\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k$ là số nguyên dương; $\lim {q^n} = 0$ nếu \(\left| q \right|

a) $\lim \frac{{6n + 3}}{{4n - 1}} = \lim \frac{{6 + \frac{3}{n}}}{{4 - \frac{1}{n}}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

b) Nhận thấy tử và mẫu số lũy thừa cao nhất là ${n^5}$ nên ta chia cả tử và mẫu cho ${n^5}$ ta được

${u_n} = \frac{{\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {2{n^3} - 2n + 1} \right)}}{{\left( {n - 1} \right){{\left( {{n^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)\left( {\frac{{2{n^3} - 2n + 1}}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right){{\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\left( {2 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{\left( {1 - \frac{1}{n}} \right){{\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}^2}}}$

Khi đó $\lim {u_n} = \frac{{1.2}}{{{{1.1}^2}}} = 2$

c) Chia cả tử và mẫu cho $n$ ta được

$\lim \frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {8{n^2} + 9} }}{n}}}{{\frac{{2n - 1}}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {8 + \frac{9}{{{n^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{{\sqrt 8 }}{2} = \sqrt 2$

d) Vì ${6^n} > 0,\forall n \in \mathbb{N}$ nên ta chia cả tử và mẫu cho ${6^n}$ ta được

$\lim \frac{{{2^n} + {4^n}}}{{{6^n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{6}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{6}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n}}} = \frac{0}{1} = 0$