Mục 2 trang 11, 12, 13, 14, 15 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Từ định nghĩa của $\sin \alpha$và $\cos \alpha$, hãy tính ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha$...

Hoạt động 3

a) Từ định nghĩa của $\sin \alpha$và $\cos \alpha$, hãy tính ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha$.

b) Từ định nghĩa của $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$, hãy tính $\tan \alpha .\cot \alpha$.

Luyện tập 4

Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức $I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}$, trong đó I_m là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc $\alpha$ như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: $I = {I_m}{\cos ^2}\alpha$.

Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

$\begin{array}{l}I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = {I_m}\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}} \right) = {I_m}.\left( {1 - \frac{1}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}} \right)\\ = {I_m}.\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {I_m}.{\cos ^2}\alpha \end{array}$

Hoạt động 4

a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh $\cos \left( { - \alpha } \right)$ và $\cos \left( \alpha \right)$; $\sin \left( { - \alpha } \right)$ và $\sin \left( \alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left( { - \alpha } \right)$ và $\tan \left( \alpha \right)$; $\cot \left( { - \alpha } \right)$ và $\cot \left( \alpha \right)$.

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:

$\cos \left( { - \alpha } \right)$ = $\cos \left( \alpha \right)$

$\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \left( \alpha \right)$

b)

$\begin{array}{l}\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \cot \alpha \end{array}$

Hoạt động 5

a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh $\sin \left( {\pi - \alpha } \right)$ và $\sin \left( \alpha \right)$; $\cos \left( {\pi - \alpha } \right)$ và $\cos \left( \alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left( {\pi - \alpha } \right)$ và $\tan \left( \alpha \right)$; $\cot \left( {\pi - \alpha } \right)$ và $\cot \left( \alpha \right)$.

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:

$\sin \left( {\pi - \alpha } \right)$ = $\sin \left( \alpha \right)$

$\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \left( \alpha \right)$

b) $\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = - \tan \alpha$

$\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{ - \tan \alpha }} = - \cot \alpha$

Hoạt động 6

a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh $\sin \left( {\alpha + \pi } \right)$ và $\sin \left( \alpha \right)$; ${\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right)$ và $\cos \left( \alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left( {\alpha + \pi } \right)$ và $\tan \left( \alpha \right)$; $\cot \left( {\alpha + \pi } \right)$ và $\cot \left( \alpha \right)$.

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:

$\sin \left( {\alpha + \pi } \right) = - \sin \alpha$

${\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha$

b) $\tan \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = \tan \alpha$

$\cot \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = \cot \alpha$

Hoạt động 7

a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ và $\cos \left( \alpha \right)$; ${\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ và $\sin \left( \alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ và $\cot \left( \alpha \right)$; $\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ và $\tan \left( \alpha \right)$.

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ = $\cos \left( \alpha \right)$

${\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ = $\sin \left( \alpha \right)$

b) $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cot \alpha$

$\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha$

Luyện tập 5

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc $\alpha$:

$B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)$

Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.

$\begin{array}{l}B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow B = {\left( { - \sin \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow B = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow B = 1\end{array}$

Vậy B không phụ thuộc $\alpha$.