Mục 2 trang 22, 23, 24, 25 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Tính sin và côsin của góc lượng giác có số đo radian bằng x trong các trường hợp sau...

Hoạt động 3

Tính sin và côsin của góc lượng giác có số đo radian bằng x trong các trường hợp sau:

$x = \frac{\pi }{2};x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{11\pi }}{3};x = - 2,5.$

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sin \frac{\pi }{2},\cos \frac{\pi }{2},\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right),\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right),\sin \frac{{11\pi }}{3},\cos \frac{{11\pi }}{3},\sin \left( { - 2,5} \right),\cos \left( { - 2,5} \right)$.

$\begin{array}{l}\cos \frac{\pi }{2} = 0,\sin \frac{\pi }{2} = 1\\\cos \frac{{ - \pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\sin \frac{{ - \pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\cos \frac{{11\pi }}{3} = \frac{1}{2},\sin \frac{{11\pi }}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos \left( { - 2,5} \right) \approx - 0,8,\sin \left( { - 2,5} \right) = - 0,6\end{array}$

Luyện tập 3

Tính giá trị của hàm số $y = \sin x$ và hàm số $y = \cos x$ khi $x = \frac{{3\pi }}{2};x = - \frac{{11\pi }}{4};x = \frac{{14\pi }}{3}.$

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sin \frac{{3\pi }}{2},\cos \frac{{3\pi }}{2},\sin \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right),\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right),\sin \frac{{14\pi }}{3},\cos \frac{{14\pi }}{3}$.

$\begin{array}{l}y = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0,y = \sin \frac{{3\pi }}{2} = - 1\\y = \cos \frac{{ - 11\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2},y = \sin \frac{{ - 11\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\y = \cos \frac{{14\pi }}{3} = - \frac{1}{2},y = \sin \frac{{14\pi }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

Vận dụng 1

Phương trình li độ của một vật dao động điều hòa có dạng: $x = - 6\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)$, trong đó x (cm) là li độ của vật (hay độ dời của vật so với vị trí cân bằng) tại thời điểm t (giây). Tính li độ của vật tại thời điểm t = 3 giây.

Thay t = 3 vào phương trình li độ.

Thay t = 3 vào phương trình li độ, ta có:

$x = - 6\cos \left( {\pi .3 + \frac{\pi }{6}} \right) = - 6\cos \left( {\frac{{19\pi }}{6}} \right) = 3\sqrt 3$

Vậy li độ tại thời điểm t = 3 giây là $3\sqrt 3$(cm).

Hoạt động 4

Tính tang và côtang của góc lượng giác có số đo bằng x trong các trường hợp sau:

$x = \frac{{7\pi }}{3};x = - \frac{{5\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{6};x = - 3.$

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\tan \frac{{7\pi }}{3},\cot \frac{{7\pi }}{3},\tan \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right),\cot \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right),\tan \frac{{11\pi }}{6},\cot \frac{{11\pi }}{6},\tan \left( { - 3} \right),\cot \left( { - 3} \right)$.

$\begin{array}{l}\tan \frac{{7\pi }}{3} = \sqrt 3 ,\cot \frac{{7\pi }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\\tan \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = - 1,\cot \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) = - 1\\\tan \frac{{11\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{11\pi }}{6} = - \sqrt 3 \\\tan \left( { - 3} \right) \approx 0,14;\cot \left( { - 3} \right) \approx 7,02\end{array}$

Luyện tập 4

Tính giá trị của hàm số $y = \tan x$ và hàm số $y = \cot x$ khi $x = \frac{{13\pi }}{3};x = - \frac{{9\pi }}{4};x = \frac{{19\pi }}{6}.$

Sử dụng máy tính cầm tay tính $\tan \frac{{13\pi }}{3},\cot \frac{{13\pi }}{3},\tan \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right),\cot \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right),\tan \frac{{19\pi }}{6},\cot \frac{{19\pi }}{6}$.

$\begin{array}{l}\tan \frac{{13\pi }}{3} = \sqrt 3 ,\cot \frac{{13\pi }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\\tan \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right) = - 1,\cot \left( { - \frac{{9\pi }}{4}} \right) = - 1\\\tan \frac{{19\pi }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3},\cot \frac{{19\pi }}{6} = \sqrt 3 \end{array}$

Hoạt động 5

a) So sánh các giá trị $\sin x$ và $\sin \left( { - x} \right)$, $\cos x$ và $\cos \left( { - x} \right)$.

b) So sánh các giá trị $\tan x$ và $\tan \left( { - x} \right)$ khi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) So sánh các giá trị $\cot x$ và $\cot \left( { - x} \right)$ khi $x \ne k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Áp dụng công thức lượng giác giữa 2 góc đối nhau.

a)

$\begin{array}{l}\sin \left( { - x} \right) = - \sin x\\\cos \left( { - x} \right) = \cos x\end{array}$

b) $\tan \left( { - x} \right) = - \tan x$

c) $\cot \left( { - x} \right) = \cot x$

Luyện tập 5

Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số $y = f\left( x \right) = \sin x - \tan x.$

So sánh$f\left( { - x} \right)$ và $f\left( x \right)$.

$\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\end{array}$

$f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) - \tan \left( { - x} \right) = - \sin x + \tan x = - \left( {\sin x - \tan x} \right) = - f\left( x \right)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Hoạt động 6

Tìm một số $T \ne 0$ sao cho $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = \sin x;$

b) $f\left( x \right) = \cos x;$

c) $f\left( x \right) = \tan x;$

d) $f\left( x \right) = \cot x.$

Dựa vào tính chất

$\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}$

Tìm ra T, từ đó chứng minh $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc tập xác định của mỗi hàm số.

a)

$\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow x + 2\pi \in D,x - 2\pi \in D\\f\left( {x + 2\pi } \right) = \sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x = f\left( x \right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow x + 2\pi \in D,x - 2\pi \in D\\f\left( {x + 2\pi } \right) = \cos \left( {x + 2\pi } \right) = \cos x = f\left( x \right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi \in D,x - \pi \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = \tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x = f\left( x \right)\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi \in D,x - \pi \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = \cot \left( {x + \pi } \right) = \cot x = f\left( x \right)\end{array}$

Luyện tập 6

Chứng minh hàm số $y = f\left( x \right) = 1 - \cot x$ là hàm số tuần hoàn.

Chỉ ra $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$ với T khác 0 là chu kì tuần hoàn.

$\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi \in D,x - \pi \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = 1 - \cot \left( {x + \pi } \right) = 1 - \cot x = f\left( x \right)\end{array}$

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn.