Mục 2 trang 56, 57, 58, 59, 60 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có vuông góc với $A’A$ không? Vì sao?...

Hoạt động 2

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $AA’ \bot AB$ và $A’A \bot AD$ (Hình 8.8)

a) Mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có vuông góc với $A’A$ không? Vì sao?

b) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $A’A$. Hãy tìm giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ với các mặt phẳng $\left( {AA’B’B} \right)$ và $\left( {A’ADD’} \right)$. Từ đó tìm mối quan hệ giữa $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

b) Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng là ta tìm được giao tuyến của chúng.

a) Vì $\left\{ \begin{array}{l}AA’ \bot AB\\AA’ \bot AD\\AB \cap AD = \left\{ A \right\}\end{array} \right. \Rightarrow AA’ \bot \left( {ABCD} \right)$

b) Vì $\left( \alpha \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $AA’$$\Rightarrow$$\left( \alpha \right)$ trùng với $\left( {ABCD} \right)$

Do đó $\left( \alpha \right) \cap \left( {AA’B’B} \right) = AB$

$\left( \alpha \right) \cap \left( {AA’D’D} \right) = AD$

Luyện tập 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $B’,C’,D’$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên các cạnh $SB,SC,SD$. Chứng minh $SC \bot \left( {AB’D’} \right)$ và $AB’,AC’,AD’$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

Chứng minh $AB’ \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB’ \bot SC$

Chứng minh $AD’ \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AD’ \bot SC$

Chứng minh ba đường thẳng $AB’,AC’,AD’$ cùng vuông góc với một đường thẳng

+) Ta có $BC \bot AB$ (Vì $ABCD$ là hình chữ nhật)

$BC \bot SA$ vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$

Mà $AB’ \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow AB’ \bot BC$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB’ \bot SB\\AB’ \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB’ \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB’ \bot SC$

+) Ta có $DC \bot AD$ (Vì $ABCD$ là hình chữ nhật)

$DC \bot SA$ vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AD\\DC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAD} \right)$

Mà $AD’ \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow AD’ \bot DC$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AD’ \bot SD\\AD’ \bot DC\end{array} \right. \Rightarrow AD’ \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AD’ \bot SC$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AB’\\SC \bot AD’\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AB’D’} \right)$

+) Ta có $AB’,AC’,AD’$ cùng vuông góc với $SC$ suy ra chúng cùng nằm trên mặt phẳng. Mà $SC \bot \left( {AB’D’} \right)$ nên mặt phẳng đó là $\left( {AB’D’} \right)$

Hoạt động 3

Cho hai đường thẳng $a,b$ song song với nhau và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với $a$ (Hình 8.13). Hỏi $\left( \alpha \right)$ có vuông góc với $b$ không? Vì sao?

Sử dụng từ vuông góc đến song song

Ta có $\left\{ \begin{array}{c}a//b\\a \bot \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \left( \alpha \right)$

Luyện tập 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB,SD$. Chứng minh $HK \bot \left( {SAC} \right)$

Chứng minh $BD \bot \left( {SAC} \right)$ và $HK//BD$. Từ đó suy ra $HK \bot \left( {SAC} \right)$

Ta có $BD \bot AC$ (vì $ABCD$ là hình vuông)

$BD \bot SA$ vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$ $\left( 1 \right)$

Xét $\Delta SAB$ có $AH \bot SB$$\Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SH.SB}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}$

Xét $\Delta SAD$ có $AK \bot SD$$\Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{SK.SD}}{{S{D^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{SD}}$

Mà $SB = SD$$\Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK//BD$ (áp dụng định lý Ta – lét) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $HK \bot \left( {SAC} \right)$

Luyện tập 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $O$ là giao điểm của $AC$ và $DB$, $SA = SC$, $SB = SD$. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $IK$ và song song với $SO$. Chứng minh $\left( \alpha \right) \bot BD$

Chứng minh $\left( \alpha \right)//\left( {SAC} \right)$

Chứng minh $BD \bot \left( {SAC} \right)$ từ đó suy ra $BD \bot \left( \alpha \right)$

Ta có $IK//AC$ vì $IK$ là đường trung bình của $\Delta SAC$$\left\{ \begin{array}{l}IK//AC\\IK \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC//\left( \alpha \right)$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}SO//\left( \alpha \right)\\AC//\left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right)//\left( \alpha \right)$

Vì $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên $AC \bot BD$ tại $O$

Xét $\Delta SBD$ có $SB = SD$ và $O$ là trung điểm của $BD$$\Rightarrow SO \bot BD$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

Mà $\left( \alpha \right)//\left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot BD$

Luyện tập 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $B’$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$, $O’$ là hình chiếu của $O$ trên $SC$. Chứng minh $AB’//\left( {O’BD} \right)$

$AB’//\left( {O’BD} \right)$

Ta có $AC \bot BD$ (giả thiết)

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}OO’ \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {O’BD} \right)$

+) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AB’$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB’ \bot BC\\AB’ \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AB’ \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB’ \bot SC$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB’ \bot SC\\\left( {O’BD} \right) \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB’//\left( {O’BD} \right)$