Mục 3 trang 36, 37 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho hàm số $f(x) = {x^2}$. Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm ${x_0}$ bất kì...

Hoạt động 5

Cho hàm số $f(x) = {x^2}$. Tính đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm ${x_0}$ bất kì.

Sử dụng định nghia đạo hàm để tính đạo hàm

Ta có: $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x - {x_0}).(x + {x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0}$

Luyện tập 4

Chứng minh đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x$ trên khoảng $(0; + \infty )$ là $y’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

Với mọi ${x_0} \in (0; + \infty )$ ta có :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{(\sqrt x - \sqrt {{x_0}} ).(\sqrt x + \sqrt {{x_0}} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}$

Suy ra $y'({x_0}) = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}$

Vậy đạo hàm của hàm số $y = \sqrt x$ trên khoảng $(0; + \infty )$ là ${y’} = \frac{1}{{2\sqrt x }}$