Advertisements (Quảng cáo)
Bài 45. Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n – 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)
Chứng minh rằng
\({u_n} = {{{2^{n – 1}} + 1} \over {{2^{n – 1}}}}\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 – 1}} + 1} \over {{2^{1 – 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).
+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(u_k={{{2^{k – 1}} + 1} \over {{2^{k – 1}}}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:
\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k – 1}} + 1} \over {{2^{k – 1}}}} + 1} \over 2} = {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)
Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)