Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng...

Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho dãy số (un) xác định bởi...

Cho dãy số (un) xác định bởi. Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Câu hỏi và bài tập ôn tập chương III

Bài 45. Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)

Chứng minh rằng

\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Advertisements (Quảng cáo)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là:

\(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:

\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} = {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)

Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)