Bài 3 trang 60 sách giáo khoa hình học lớp 11: Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song...

Bài 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung đểm của các cạnh $AB, CD$ và $G$ là trung điểm của đoạn $MN$

a) Tìm giao điểm $A’$ của đường thẳng $AG$ và mặt phẳng $(BCD)$

b) Qua $M$ kẻ đường thẳng $Mx$ song song với $AA’$ và $Mx$ cắt $(BCD)$ tại $M’$. Chứng minh $B, M’, A’$ thẳng hàng và $BM’ = M’A’ = A’N$.

c) Chứng minh $GA = 3 GA’$.

a) Trong  $(ABN)$: Gọi $A’=AG  \cap BN$

suy ra $A’ \in BN$, $BN \subset (BCD)$.

Do đó: $A’ \in (BCD)$ $=> A’ = AG \cap (BCD)$.

b) $MM’//AA’$ mà $AA’\subset (ABA’)$ do đó: $MM’\subset (ABA’)$

Mặt khác $M’\in (BCD)$ nên $M’$ thuộc giao tuyến $A’B$ của $(ABA’)$ và $(DBC)$

*) Xét tam giác $NMM’$ có:

+) $G$ là trung điểm của $NM$.

+) $GA’//MM’$

$\Rightarrow A’$ là trung điểm của $NM’$

Xét tam giác $BAA’$ có:

+) $M$ là trung điểm của $AB$ 

+) $MM’//AA’$

$\Rightarrow M’$ là trung điểm của $BA’$

Do đó: $BM’=M’A’=A’N$.

c) Ta có $GA’={1\over 2} MM’$

             $MM’={1\over 2} AA’$

$\Rightarrow GA’={1\over 4} AA’\Rightarrow GA=3 GA’$