Bài 4. Cho vectơ \(v\), đường thẳng \(d\) vuông góc với giá của vectơ \(v\). Gọi \(d’\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \frac{1}{2}\) \( \overrightarrow{v}\). Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow{v}\)
là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \(d\) và \(d’\)
Lấy \(M\) tùy ý. Gọi \({D_{d}}(M) = M’\), \({D_{d’}} (M’) = M”\).
Gọi \(M_0,M_1\) lần lượt là giao của \(d\) và \(d’\) với \(MM”\)
Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\( \overrightarrow{MM”}\) =\(\overrightarrow{MM’} + \overrightarrow{M’M”}= 2\overrightarrow{{M_{0}M’}^{}} + 2 \overrightarrow{M'{M_{1}}^{}}\)
\(= 2 \overrightarrow{{M_{0}{M_{1}}^{}}^{}} = 2 \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \overrightarrow{v}\)
Vậy \(M” = {T_{\overrightarrow{v}}} (M) = {D_{d’}}\) \({D_{d}}(M)\), với mọi \(M\)
Do đó phép tịnh tiến theo vectơ \(v\) là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng \(d\) và \(d’\).