Bài 4 trang 34 sách giáo khoa hình học lớp 11: Ôn tập Chương I - Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng...

Bài 4. Cho vectơ $v$, đường thẳng $d$ vuông góc với giá của vectơ $v$. Gọi $d’$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{v}$. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$

 là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng $d$ và $d’$

Lấy $M$ tùy ý. Gọi ${D_{d}}(M) = M’$, ${D_{d’}} (M’) = M”$.

Gọi $M_0,M_1$ lần lượt là giao của $d$ và $d’$ với $MM”$

Ta có

$\overrightarrow{MM”}$ =$\overrightarrow{MM’} + \overrightarrow{M’M”}= 2\overrightarrow{{M_{0}M’}^{}} + 2 \overrightarrow{M'{M_{1}}^{}}$

$= 2 \overrightarrow{{M_{0}{M_{1}}^{}}^{}} = 2 \frac{\overrightarrow{v}}{2} = \overrightarrow{v}$

Vậy $M” = {T_{\overrightarrow{v}}} (M) = {D_{d’}}$ ${D_{d}}(M)$, với mọi $M$

Do đó phép tịnh tiến theo vectơ $v$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng $d$ và $d’$.