Bài 6 trang 37 sgk giải tích 11: Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp...

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a. $tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1$;                    

b. $\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1$

a) $tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1$

$\tan (2x + 1) = {1 \over {\tan (3x - 1)}}$

$\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \cot (3x - 1)$

$\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \tan \left( {{\pi  \over 2} - 3x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi  \over 2} - 3x + 1 + k\pi$

$\Leftrightarrow x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5}(k \in\mathbb{Z} )$.

b) $\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + \tan {\pi \over 4}} \over {1 - \tan x.\tan {\pi \over 4}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr}$

Đặt $t = tan x$, (điều kiện $t  ≠ 1$)phương trình trở thành

$t + \frac{t+1}{1-t}$= 1

$\Leftrightarrow - {t^2} + 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right.\text{(thỏa mãn)}$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 0 \hfill \cr \tan x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})$