Câu 5 trang 121 Hình học 11: Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian...

Bài 5. Tứ diện $ABCD$ có hai mặt $ABC$ và $ADC$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a, AC = b$. Tam giác $ADC$ vuông tại $D$ có $CD = a$.

a) Chứng minh các tam giác $BAD$ và $BDC$ đều là tam giác vuông

b) Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh $IK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

‘

a) $(ABC) ⊥ (ADC)$ mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến $AC$.

Ta lại có $BA ⊂ (ABC)$ và $BA⊥ AC$ nên $BA⊥(ADC)$

$BA⊥(ADC) ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD$ vuông tại $A$

$\left. \matrix{ BA \bot (ADC) \hfill \cr AD \bot DC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BD \bot DC$

 (Định lí 3 đường vuông góc)

$⇒ ΔBDC$ vuông tại $D$

b) Gọi $J$ là trung điểm của $AC$

Ta có $KJ//BA$

Mà $BA⊥(ADC) ⇒ KJ ⊥(ADC)$

                            $⇒ KJ ⊥ AD$              (1)

Ta cũng có $IJ//DC ⇒ IJ ⊥ AD$              (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AD⊥(KIJ)$

                           $⇒ AD ⊥ IK$

Ta lại có: $ΔBAI = ΔCDI  ⇒ IB = IC$

$⇒ ΔBIC$ cân đỉnh $I ⇒ IK ⊥ BC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $IK$ là đoạn vuông góc chung của $AD$ và $BC$.