Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 (sách cũ) Câu 7 trang 122 Hình học 11: Ôn tập chương III –...

Câu 7 trang 122 Hình học 11: Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian...

Câu 7 trang 122 SGK Hình học 11: Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC

Bài 7. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

a) Tính khoảng cách từ \(S\)  đến mặt phẳng \((ABCD)\) và độ dài cạnh \(SC\)

b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\)

c) Chứng minh \(SB\) vuông góc với \(BC\)

d) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\). Tính \(\tan\varphi\)

a) Kẻ \(SH⊥(ABCD)\)

Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\)

\(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).

Do \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên tam giác \(ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\),

Ta có: 

\(\eqalign{
& AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr
& AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

 Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Tính ra: \(SH = {{a\sqrt {15} } \over 6}\)

Ta cũng có: \(HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\)

Trong tam giác vuông \(SHC\):

Advertisements (Quảng cáo)

\(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\)      

Do đó ta tính được:

 \(SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)

b) 

\(\left. \matrix{
SH \bot (ABCD) \hfill \cr
SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}(1) \cr
& B{C^2} = {a^2}(2) \cr
& S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}(3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\)

Theo định lí Pytago đảo, tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\).

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC) \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \)

Suy ra: \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \widehat{ SOH} = \varphi \cr
& \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5 \cr} \)

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)