Bài 105 trang 43 SBT toán 12 - Cánh diều: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau...

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}}$;

b) $y = \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}}$;

c) $y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}$.

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)$, nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty$

thì đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ thì đường thẳng $y = {y_0}$ là đường tiệm cận ngang.

a) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \infty$

Vậy $x = \frac{5}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \frac{3}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \frac{3}{2}$

Vậy $y = - \frac{3}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = + \infty$

Vậy $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3$

Vậy $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty$

Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - 1$

Vậy $y = 1$ và $y = - 1$ là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.