Câu hỏi/bài tập:
Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}}\);
b) \(y = \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}}\);
c) \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\).
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \infty \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(x = \frac{5}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \frac{3}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 4}}{{ - 2{\rm{x}} + 5}} = - \frac{3}{2}\)
Vậy \(y = - \frac{3}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = + \infty \)
Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^3} + x - 2}}{{{x^3} - 8}} = 3\)
Vậy \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty \)
Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = - 1\)
Vậy \(y = 1\) và \(y = - 1\) là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.