Bài 106 trang 44 SBT toán 12 - Cánh diều: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau...

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}$;

b) $y = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}$;

c) $y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)$, nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty$

thì đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ thì đường thẳng $y = {y_0}$ là đường tiệm cận ngang.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]$ hoặc

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]$

a) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = + \infty$

Vậy $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0$

Vậy $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = - \infty$

Vậy ${\rm{x}} = - \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = - \infty$

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = - \frac{1}{4}$

Vậy đường thẳng $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1$

Vậy $y = 1$ và $y = - 1$ là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.