Bài 111 trang 45 SBT toán 12 - Cánh diều: Một cửa sổ gồm phần dưới là một hình chữ nhật và phần vòm có hình bán nguyệt được mô...

Một cửa sổ gồm phần dưới là một hình chữ nhật và phần vòm có hình bán nguyệt được mô tả ở Hình 34. Tìm $x,y$ để diện tích của cửa sổ lớn nhất, biết chu vi của cửa sổ là 5 m.

‒ Tìm công thức xác định hàm số mô phỏng diện tích của cửa sổ.

‒ Dựa vào công thức của hàm số để tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Chu vi của cửa sổ là: $x + 2y + \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} = x + 2y + \frac{{\pi x}}{2} = 5 \Leftrightarrow y = \frac{{10 - \left( {2 + \pi } \right)x}}{4}$.

Vì chu vi của cửa sổ bằng 5 nên $\frac{{10 - \left( {2 + \pi } \right)x}}{4} < 5 \Leftrightarrow$.

Diện tích của cửa sổ là: $S = xy + \frac{1}{2}.\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = x.\frac{{10 - \left( {2 + \pi } \right)x}}{4} + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = \frac{{ - \left( {\pi + 4} \right){x^2} + 20{\rm{x}}}}{8}$

Xét hàm số $S\left( x \right) = \frac{{ - \left( {\pi + 4} \right){x^2} + 20{\rm{x}}}}{8}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $S’\left( x \right) = - \frac{{\pi + 4}}{4}x + \frac{5}{2}$

Khi đó, trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, $S’\left( x \right) = 0$ khi $x = \frac{{10}}{{\pi + 4}}$.

Bảng biến thiên:

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = 1,75$ tại $x = \frac{{10}}{{\pi + 4}} \Leftrightarrow y = \frac{5}{{\pi + 4}}$.

Vậy khi $x = \frac{{10}}{{\pi + 4}} \approx 1,4\left( m \right),y = \frac{5}{{\pi + 4}} \approx 0,7\left( m \right)$ thì diện tích của cửa sổ lớn nhất.