Bài 107 trang 44 SBT toán 12 - Cánh diều: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số...

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) $y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} - 7x + 1$ trên đoạn $\left[ { - 3;2} \right]$;

b) $y = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 3}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$;

c) $y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}$ trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$;

d) $y = \ln \sqrt {{x^2} + 1}$ trên đoạn $\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]$;

e) $y = x + \cos 2x$ trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]$.

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

Bước 1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$.

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

a) Ta có: $y’ = 3{x^2} - 4{\rm{x}} - 7$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 3;2} \right]$, $y’ = 0$ khi $x = - 1,x = \frac{7}{3}$.

$y\left( { - 3} \right) = - 23;y\left( { - 1} \right) = 5;y\left( {\frac{7}{3}} \right) = - \frac{{365}}{{27}};y\left( 2 \right) = - 13$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 5$ tại $x = - 1$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 23$ tại $x = - 3$.

b) Ta có: $y’ = \frac{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 8}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$, $y’ = 0$ vô nghiệm.

$y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{{25}}{6}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \frac{{25}}{6}$ tại $x = 3$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \frac{1}{2}$ tại $x = - 1$.

c) Ta có: $y’ = {x^2}{e^x}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$, $y’ = 0$ khi $x = 0$.

$y\left( { - 2} \right) = \frac{{10}}{{{{\rm{e}}^2}}};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = e$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = e$ tại $x = 1$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = \frac{{10}}{{{e^2}}}$ tại $x = - 2$.

d) Ta có: $y’ = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]$, $y’ = 0$ khi $x = 0$.

$y\left( { - \sqrt 3 } \right) = \ln 2;y\left( 0 \right) = 0;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = \ln 3$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = \ln 3$ tại $x = 2\sqrt 2$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = 0$ tại $x = 0$.

e) Ta có: $y’ = 1 - 2\sin 2{\rm{x}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]$, $y’ = 0$ khi $x = \frac{{5\pi }}{{12}}$.

$y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4};y\left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{4}$ tại $x = \frac{\pi }{4}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ tại $x = \frac{{5\pi }}{{12}}$.