Đề 2 trang 23 SBT Hình học 12: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là...

ĐỀ 2 (45 phút)

Câu 1 (4 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC.

a) Chứng minh A’B’C’D’ cũng là một khối tứ diện đều.

b) Tính  V_{A’B’C’D’}  theo a.

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi E là trung điểm của CD. Khi đó  ${{EB’} \over {EA}} = {{EA’} \over {EB}}$

Suy ra  B’A’ // AB và $B’A’ = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}a$

Tương tự các cạnh khác của tứ diện A’B’C’D’  cũng bằng ${1 \over 3}a$  nên A’B’C’D’ là một khối tứ diện đều.

b) Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD).

Vì AB = AC = AD nên HB = HC = HD.  Suy ra:  $H \equiv A’$

Ta có:  ${\rm{AA}}’ = \sqrt {{a^2} - {{({a \over {\sqrt 3 }})}^2}}  = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}$

          ${V_{ABCD}} = {1 \over 3}{1 \over 2}{a^2}{{\sqrt 3 } \over 2}{{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}}$

Vì tứ diện A’B’C’D’  đồng dạng với tứ diện ABCD với tỉ số đồng dạng là $k = {1 \over 3}$ , nên ${V_{A’B’C’D’}} = {1 \over {27}}{V_{ABCD}} = {{\sqrt 2 } \over {324}}{a^3}$

Câu 2 (6 điểm) trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B, mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng đáy, AB = 3a, AA’ = 5a ,$\widehat {A’BC} = {60^0}$ .

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’)

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A’ đến (ABC).

Vì $(A’BC) \bot (ABC)$ nên H thuộc đường thẳng BC.  Vì  $AB \bot BH$ nên $AB \bot BA’$.

Ta có:  $A’B = \sqrt {A'{A^2} - A{B^2}}  = 4a$ ;

            $A’H = A’B\sin {60^0} = {{4a\sqrt 3 } \over 2} = 2\sqrt 3 a$ ;

${V_{ABC.A’B’C’}} = {{9{a^2}} \over 2}2a\sqrt 3  = 9\sqrt 3 {a^3}$

b) Ta có:  ${V_{A’.ABC}} = {1 \over 3}{V_{ABC.A’B’C’}} = 3\sqrt 3 {a^3};$

${S_{ABA’}} = {1 \over 2}A’B.AB = {1 \over 2}4a.3a = 6{a^2}$

Vì  ${V_{A’.ABC}} = {V_{C.ABA’}} = {1 \over 3}{S_{ABA’}}.d(C,(ABA’))$

$\Rightarrow d(C,(ABA’)) = {{3{V_{A’.ABC}}} \over {{S_{ABA’}}}} = {{9\sqrt 3 {a^3}} \over {6{a^2}}} = {{3\sqrt 3 a} \over 2}$

Chú ý: Có thể giải câu b) bằng cách khác như sau:

$\left\{ {\matrix{{(A’BC) \bot (ABC)} \cr {AB \bot BC} \cr} } \right. \Rightarrow  AB \bot (A’BC)$

$\Rightarrow  (ABB’A’) \bot (A’BC)$

$\Rightarrow d(C,(ABB’A’)) = d(C,A’B) = BC\sin {60^0} = {{3a\sqrt 3 } \over 2}$