Hoạt động3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 24
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = x + 1\) (Hình 15). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right];\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right]\)
Quan sát đồ thị
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\end{array} \right.\)
Luyện tập3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 25
Chứng minh rằng đường thẳng \(y = - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 2}}\).
Đưởng thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 2}} = - x + \frac{3}{{x + 2}}\).
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( { - x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{x + 2}} = 0\).
Vậy đường thẳng \(y = - x\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - 2x + 3}}{{x + 2}}\)
Luyện tập4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 26
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}\).
Đưởng thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}} = x - 6 + \frac{{20}}{{x + 3}}\).
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{20}}{{x + 3}} = 0\).
Vậy đường thẳng \(y = x - 6\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}\)