Mục 3 trang 11 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Hàm số $y = - \cos x$ có là nguyên hàm của hàm số $y = \sin x$ Hàm số...

a) Hàm số $y = - \cos x$ có là nguyên hàm của hàm số $y = \sin x$

b) Hàm số $y = \sin x$ có là nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$

c) Với $x \notin k\pi (k \in \mathbb{Z})$, hàm số $y = \cot x$ có là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}$ hay không?

d) Với $x \notin \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$, hàm số $y = \tan x$ có là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}$ hay không?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

a) $y’ = \sin x$ nên $y = - \cos x$ là nguyên hàm của hàm số $y = \sin x$

b) $y’ = \sin x$ nên $y = \sin x$ là nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$

c) Với $x \notin k\pi (k \in \mathbb{Z})$, $y’ = \left( { - \cot x} \right)’ = {\left( { - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)^’} = - \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ nên $y = - \cot x$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}$

d) Với $x \notin \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$, $y’ = \left( {\tan x} \right)’ = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^’} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ nên $y = \tan x$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}$