Bài tập 22 trang 30 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho ${S_1}$, ${S_2}$ là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hìnhTính $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$...

Cho ${S_1}$, ${S_2}$ là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình 3. Tính $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$.

Diện tích ${S_1} + {S_2}$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 4$. Do đó ${S_1} + {S_2} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx}$

Hình phẳng ${S_1}$ được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4x$, $y = x$ và các đường thẳng $x = 0$, $x = 3$. Do đó ${S_1} = \int\limits_0^3 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - x} \right]dx}$.

Từ đó tính được ${S_2}$ và tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$.

Diện tích ${S_1} + {S_2}$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 4$. Do đó

${S_1} + {S_2} = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}$.

Hình phẳng ${S_1}$ được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4x$, $y = x$ và các đường thẳng $x = 0$, $x = 3$. Do đó

${S_1} = \int\limits_0^3 {\left[ {\left( { - {x^2} + 4x} \right) - x} \right]dx} = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}$.

Suy ra ${S_2} = \frac{{32}}{3} - \frac{9}{2} = \frac{{37}}{6}$ và $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{37}}{6} = \frac{{27}}{{37}}$