Bài tập 25 trang 30 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ nửa đường tròn tâm $O$...

Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ nằm phía trên trục $Ox$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = - 1$, $x = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.

Viết phương trình nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ nằm phía trên trục $Ox$ là $y = f\left( x \right)$.

Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x = - 1$, $x = 1$. Do đó, thể tích khối tròn xoay khi quay $D$ quanh trục $Ox$ là $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Phương trình đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ là ${x^2} + {y^2} = {2^2} = 4$.

Do nửa đường tròn nằm phía trên trục $Ox$, nên ta có $y \ge 0$. Suy ra phương trình nửa đường tròn là $y = \sqrt {4 - {x^2}}$.

Hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}}$, trục hoành và các đường thẳng $x = - 1$, $x = 1$. Do đó, thể tích khối tròn xoay khi quay $D$ quanh trục $Ox$ là

$V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \pi \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \pi \left( {\frac{{11}}{3} - \frac{{ - 11}}{3}} \right) = \frac{{22\pi }}{3}$.