Bài tập 17 trang 92 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$;

b) $y = x + \sqrt {1 - {x^2}}$

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm $f’\left( x \right) = 0$.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)$, tại đó $f’\left( x \right) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)$, f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$

a) Ta có: $y’ = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)’} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}$

$y’ = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]$

Ta có: $y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0$

b) Tập xác định của hàm số là: $D = \left[ { - 1;1} \right]$

$y’ = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { - 1} \right) = - 1;y\left( 1 \right) = 1$

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1$