Bài tập 27 trang 93 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1; - 2;3} \right), B\left( {3;0; - 1} \right)$...

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng (OAB).

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất.

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Sử dụng kiến thức về tọa độ trung điểm của đoạn thẳng để tính: Nếu I là trung điểm của AB thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.$

a) Ta có: $\overrightarrow {OA} \left( {1; - 2;3} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;0; - 1} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&3\\0&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\{ - 1}&3\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\3&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2;10;6} \right)$

Mặt phẳng (AOB) có hai vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB}$ nên mặt phẳng (OAB) nhận $\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {1;5;3} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là: $x + 5y + 3z = 0$.

b) Vì I là trung điểm của AB nên: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\end{array} \right.$. Vậy $I\left( {2; - 1;1} \right)$

c) Vì I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI}$.

Do đó, $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI$

Để $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất.

Mà M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên MI nhỏ nhất khi $MI \bot \left( {Oxy} \right)$. Hay M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oxy). Do đó, $M\left( {2; - 1;0} \right)$.