Câu hỏi/bài tập:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng →AG=23(→AB+→AD+→AA′).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: →AB+→AD+→AA′=→AC′
Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để tính: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ →a được kí hiệu là |→a|.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Gọi H là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, H là trung điểm của AC’. Do đó, →AH=→HC′=12→AC′.
Vì G là trọng tâm của tam giác BC’D’ và C’H là đường trung tuyến của tam giác BC’D’ nên: →HG=13→HC′.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên →AC′=→AB+→AD+→AA′ (quy tắc hình hộp)
Ta có: →AG=→AH+→HG=12→AC′+13→HC′=12→AC′+16→AC′=23→AC′=23(→AB+→AD+→AA′)
b) Theo phần a ta có: →AG=23→AC′ nên AG=23AC′
Tam giác ACD vuông tại D nên AC=√AD2+DC2=a√2
Tam giác ACC’ vuông tại C nên AC’ = \sqrt {A{C^2} + CC{‘^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3
Do đó, AG = \frac{2}{3}.a\sqrt 3 = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}