Bài tập 5.47 trang 63 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ và $d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + t\\z = 2t\end{array} \right.$.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Tính góc giữa d và d’.

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not \in {\Delta _2}$

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$

b) Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta ‘$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u’} = \left( {a’;b’;c’} \right)$. Khi đó: $\cos \left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right| = \frac{{\left| {aa’ + bb’ + cc’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}$.

a) Đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A\left( { - 2; - 3;3} \right).$

Đường thẳng d’ nhận $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $B\left( {1; - 2;0} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {3;1; - 3} \right),$ $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0;3} \right) \ne \overrightarrow 0$

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 6.3 + 0.1 + 3.\left( { - 3} \right) = 18 + 0 - 9 = 9 \ne 0$ nên d, d’ chéo nhau.

b) Ta có: $\cos \left( {d,d’} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 2.1 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Do đó, góc giữa d và d’ xấp xỉ $65,{9^o}$.