Bài 12 trang 20 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng: Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều. b) Các trung...

Bài 12. Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

a)

Gọi \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, BDA, ABC\) của tứ diện đều \(ABCD\) có trọng tâm \(G\).
Ta có \(\overrightarrow {GA’}  =  - {1 \over 3}\overrightarrow {GA} \)
Gọi \({V_{\left( {G;{{ - 1} \over 3}} \right)}}\) là phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \( - {1 \over 3}\) ta có \(A’, B’, C’, D’\) lần lượt là ảnh của \(A, B, C, D\) qua phép vị tự \(V\). Từ đó suy ra \({{A’B’} \over {AB}} = {{B’C’} \over {BC}} = {{C’D’} \over {CD}} = {{D’A’} \over {DA}} = {{A’C’} \over {AC}} = {{B’D’} \over {BD}} = {1 \over 3}\)
Do đó nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì \(A’B’C’D’\) cũng là tứ diện đều.
b)

Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, CD, AC, BD, AD, BC\) của khối tứ diện đều \(ABCD\). Khi đó, tám tam giác \(MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP\) là những tam giác đều, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là \(M, N, P, Q, R, S\) mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của bốn cạnh. Vậy đó là khối tám mặt đều.