Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Bài 13.

a) Chứng minh rằng nếu $f\left( x \right) \ge 0$ trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.}$ 

b) Chứng minh rằng nếu $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .$ 

a) Ta có $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b,$ do đó $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.}$

b)  Đặt $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in \left[ {a;b} \right].$

Theo a) ta có: $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]}  \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx.$